Métodos Computacionais

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author=Thadeu Penna
title=Primeira Lista 1º/2010 
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====== Listas ======
  - Escolha 3 geradores apresentados em sala. Realize o seguinte teste: considere um arranjo de 20 números diferentes. Usando o gerador, permute dois dos números. Repita 200 vezes. Verifique se algum número aparece na mesma posição que iniciou. Uma  desarrumação completa ocorre quando nenhum número é mantido em sua posição original. Repita todo o processo $10^6$ vezes e contabilize o número de desarrumações completas $N_d$. Anote $N/N_d$. Para extrair uma boa estatística da média e desvio de $N/N_d$, repita $10^3$ vezes (amostras), para cada gerador, e faça um gráfico de $N/N_d$ vs. número de amostras, com as respectivas barras de erro. 
  - Ainda com os três geradores, realize o seguinte teste: divida o plano cartesiano em $N=10^6$ células. Gere dois números reais entre zero e um, $x$ e $y$. Verifique em que célula o ponto deve ocupar. Após $10^6$ sorteios, anote o número $N_0$ de células que nunca foram ocupadas e $N_1$, de células ocupadas apenas uma vez. Anote $N/N_0$ e $N/N_1$. Como no item anterior, repita para $10^3$ amostras e faça o gráfico $N/N_d$ vs. número de amostras, com as respectivas barras de erro. Compare o resultado com o anterior.
  - Modifique o programa anterior e faça mais sorteios que o número de células. Para cada gerador, obtenha a dispersão no número de pontos em cada caixa. Obtenha a entropia em função do tempo, para cada 10 sorteios de pontos ($S=\sum_{i=1}^N p_i \ln p_i$, onde $p_i$ é a probabilidade de ocupação da caixa $i$). Considere o primeiro tempo como o primeiro sorteio, isto é, apenas uma caixa ocupada.  
  - Utilize o método de Monte Carlo para calcular o volume de uma hiperesfera de raio 1, de duas a quinze dimensões. Repita para várias amostras para ter uma boa determinação da média e desvio. 
  - Verifique a lei de Einstein para o movimento Browniano em 1,2 e 3 dimensões. Sorteie $N$ caminhantes e anote a dispersão em função do tempo. Repita para três valores de $N$ diferentes. 
  - Gere números aleatórios segundo a distribuição normal, usando Box e Muller. Gere números aleatórios segundo a Lorentziana e compare com o resultado esperado (obtenha o $\chi^2$). Compare os resultados e o tempo de computação para o método da inversão e da rejeição.
  - Gere pontos na superfície de esfera, sorteando $\theta$ e $\phi$, como distribuições uniformes. Plote o gráfico 3D dos pontos sorteados e convença-se que isto não gera pontos uniformemente na superfície. Corrija propondo um algoritmo para gerar pontos uniformemente espalhados. 
  - Gere três números $x,y$ e $z$, segundo a distribuição normal. A partir deles, crie um vetor unitário. Faça um gráfico 3D, para vários vetores e verifique visualmente se isto é uma distribuição uniforme na superfície da esfera.   
  - Faça um programa para a evolução dos automatas celulares 1D, vizinhança 3. A regra deve ser um dado de entrada e os estados devem ser armazenados em bits. A informação requerida é o número de sítios ativos em função do tempo. Apresente os resultados para três regras que consigam manter um número finito de sítios ativos.
  - Implemente o automata celular Q2R em uma rede quadrada. Faça um programa auxiliar para gerar a configuração inicial com energia escolhida, sempre armazenando os estados dos sítios em bits. Obtenha a média da magnetização em função da energia e confirme (mesmo sem muita precisão) a ocorrência de uma transição de fase. Repita para várias amostras para determinar a magnetização e sua dispersão em função da energia. O programa será utilizado nas listas posteriores. Se quiser adiantar, programe também em três dimensões, utilizando a implementação mais eficiente (em 3D, o spin é invertido se tiver três vizinhos paralelos).
listas/lista1.1270216605.txt.gz · Última modificação: 2010/04/02 10:56 por tjpp